financeФинансы: теория и практика/Finance: Theory and PracticeFinance: Theory and Practice2587-56712587-7089Financial University under The Government of Russian Federation10.26794/2587-5671-2022-26-3-196-225finance-1676Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕОб одном алгоритме восстановления функции по разным функционалам для прогнозирования редких событий в экономикеAn Algorithm for Restoring a Function from Different Functionals for Predicting Rare Events in the Economyhttps://orcid.org/0000-0001-5752-4866КораблевЮ. А.KorablevYu. A.

Юрий Александрович Кораблев — кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры системного анализа в экономике.

Москва

Yurii A. Korablev — Cand. Sci. (Econ.), Assoc. Prof., Department of System Analysis in Economics.

Moscow

yura-korablyov@yandex.ruФинансовый университетРоссияFinancial UniversityRussian Federation202214072022263196225Copyright © Кораблев Ю.А., 20222022Кораблев Ю.А.Korablev Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://financetp.fa.ru/jour/article/view/1676

Цель исследования — восстановление некоторых параметров функционала с использованием кубических сплайнов для дальнейшего прогнозирования редких событий в финансах и экономике. Рассмотрен математический метод восстановления неизвестной функции по многим разным функционалам, таким как значение функции, значение ее первой производной, второй производной, а также определенного интеграла на некотором промежутке. Причем все наблюдения могут происходить с погрешностью. Поэтому автор применил метод восстановления функции по разным функционалам, наблюдаемым с погрешностью. Восстановление функции осуществляется в виде кубического сплайна, имеющего представление через значения и вторые производные (value-second derivative representation). Оптимизационная задача заключается в минимизации сразу нескольких сумм квадратов отклонения: для обычных значений, для первых производных, для вторых производных, для интегралов, а также штрафа на нелинейность. Для большей гибкости введены весовые коэффициенты как для каждой группы наблюдений, так и для каждого индивидуального наблюдения в отдельности. Показано, как рассчитывается каждый отдельный функционал. Представлена компактная форма оптимизационной задачи через матричные операции. Подробно показано, как заполняется каждая соответствующая матрица. В приложении представлена программная реализация метода на языке R в виде функции FunctionalSmoothingSpline. Приведены примеры использования метода для анализа и прогнозирования редких (дискретных) событий в экономике. Представлены формулы расчета оценки кросс-валидации CV (α) для автоматической процедуры определения параметра сглаживания α из данных в  нашей задаче восстановления функции по многим функционалам. Сделан вывод, что представленный метод позволяет анализировать и прогнозировать редкие события, что позволит подготовиться к ним, получить из этого определенную выгоду или уменьшить возможные риски или убытки.

This paper aims to restore some parameters of functionals using cubic splines to forecast rare events in finance and economics. The article considers the mathematical method for recovering an unknown function from many different functionals, such as the value of a function, the value of its first derivative, second derivative, as well as a definite integral over a certain interval. Moreover, all observations can occur with an error. Therefore, the author uses a method of recovering a function from different functionals observed with an error. The function is restored in the form of a cubic spline, which has a value-second derivative representation. The optimization problem consists in minimizing several sums of squares of the deviation at once, for ordinary values, for the first derivatives, for the second derivatives, for integrals, and for roughness penalty. For greater flexibility, weights have been introduced both for each group of observations and for each individual observation separately. The article shows in detail how the elements of each corresponding matrix are filled in. The appendix provides an implementation of the method as a FunctionalSmoothingSpline function in R language. Examples of using the method for the analysis and forecasting of rare (discrete) events in the economy are given. Formulas for calculating the cross-validation score CV (α) for the automatic procedure for determining the smoothing parameter α from the data in our problem of recovering a function by many functionals are shown. The paper concludes that the presented method makes it possible to analyze and predict rare events, which will allow you to prepare for such future events, get some benefit from this, or reduce possible risks or losses.

редкие событияпрогнозанализ событийвосстановление по функционаламсглаживающий сплайнштраф на шероховатостьRFunctionalSmoothingSplineкросс-валидацияrare eventsforecastevent analysisrecovery by functionalssmoothing splineroughness penaltyRFunctionalSmoothingSplinecross-validationИсследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19–010–00154. Финансовый университетReferencesШеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. Пер. с англ. М.: Изд. иностр. лит.; 1963. 829 с.Shannon C.Works on information theory and cybernetics. Transl. from Eng. Moscow: Foreign Literature Publ.; 1963. 258 p. (In Russ.).Croston J. D. Forecasting and stock control for intermittent demands. Operational Research Quarterly. 1972;23(3):289–303. DOI: 10.1057/jors.1972.50Croston J. D. Forecasting and stock control for intermittent demands. Operational Research Quarterly. 1972;23(3):289–303. DOI: 10.1057/jors.1972.50Willemain T.R., Smart C.N., Schwarz H.F. A new approach to forecasting intermittent demand for service parts inventories. International Journal of Forecasting. 2004;20(3):375–387. DOI: 10.1016/S 0169–2070(03)00013-XWillemain T.R., Smart C.N., Schwarz H.F. A new approach to forecasting intermittent demand for service parts inventories. International Journal of Forecasting. 2004;20(3):375–387. DOI: 10.1016/S 0169–2070(03)00013-XKaya G.O., Sahin M., Demirel O.F.Intermittent demand forecasting: A guideline for method selection. Sādhanā: Academy Proceedings in Engineering Sciences. 2020;45(1):51. DOI: 10.1007/s12046–020–1285–8Kaya G.O., Sahin M., Demirel O.F.Intermittent demand forecasting: A guideline for method selection. Sādhanā: Academy Proceedings in Engineering Sciences. 2020;45(1):51. DOI: 10.1007/s12046–020–1285–8Pinçe Ç., Turrini L., Meissner J. Intermittent demand forecasting for spare parts: A critical review. Omega. 2021;105:102513. DOI: 10.1016/j.omega.2021.102513Pinçe Ç., Turrini L., Meissner J. Intermittent demand forecasting for spare parts: A critical review. Omega. 2021;105:102513. DOI: 10.1016/j.omega.2021.102513Кораблев Ю.А. Метод восстановления функции по интегралам для анализа и прогнозирования редких событий в экономике. Экономика и математические методы. 2020;56(3):113–124. DOI: 10.31857/S 042473880010485–2Korablev Yu.A. The function restoration method by integrals for analysis and forecasting of rare events in the economy. Ekonomika i matematicheskie metody = Economics and Mathematical Methods. 2020;56(3):113–124. (In Russ.). DOI: 10.31857/S 042473880010485–2Kimeldorf G., Wahba G. Some results on Tchebychefian spline functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971;33(1):82–95. DOI: 10.1016/0022–247X(71)90184–3Kimeldorf G., Wahba G. Some results on Tchebychefian spline functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971;33(1):82–95. DOI: 10.1016/0022–247X(71)90184–3Lee C.H. A phase space spline smoother for fitting trajectories. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. Part B: Cybernetics. 2004;34(1):346–356. DOI: 10.1109/tsmcb.2003.817027Lee C.H. A phase space spline smoother for fitting trajectories. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. Part B: Cybernetics. 2004;34(1):346–356. DOI: 10.1109/tsmcb.2003.817027Xian J., Li Y., Lin W. Reconstruction of signal from samples of its integral in spline subspaces. In: Bubak M., van Albada G.D., Sloot P.M.A., Dongarra J., eds. Int. conf. on computational science: Computational science (ICCS 2004). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag; 2004:574–577. (Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3037). DOI: 10.1007/978–3–540–24687–9_75Xian J., Li Y., Lin W. Reconstruction of signal from samples of its integral in spline subspaces. In: Bubak M., van Albada G.D., Sloot P.M.A., Dongarra J., eds. Int. conf. on computational science: Computational science (ICCS 2004). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag; 2004:574–577. (Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3037). DOI: 10.1007/978–3–540–24687–9_75Green P.J., Silverman B.W. Nonparametric regression and generalized linear models. A roughness penalty approach. Boca Raton, London: Chapman & Hall/CRC; 1994. 194 p. (Monographs on Statistics and Applied Probability. No. 58).Green P.J., Silverman B.W. Nonparametric regression and generalized linear models. A roughness penalty approach. Boca Raton, London: Chapman & Hall/CRC; 1994. 194 p. (Monographs on Statistics and Applied Probability. No. 58).Quinn B.G., Fernandes J.M. A fast efficient technique for the estimation of frequency. Biometrika. 1991;78(3):489– 497. DOI: 10.1093/biomet/78.3.489Quinn B.G., Fernandes J.M. A fast efficient technique for the estimation of frequency. Biometrika. 1991;78(3):489– 497. DOI: 10.1093/biomet/78.3.489Quinn B.G., Hannan E.J. The estimation and tracking of frequency. Cambridge, New York: Cambridge University Press; 2001. 278 p. (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. No. 9).Quinn B.G., Hannan E.J. The estimation and tracking of frequency. Cambridge, New York: Cambridge University Press; 2001. 278 p. (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. No. 9).Кораблев Ю.А., Голованова П.С., Кострица Т.А. Емкостный метод анализа редких событий в сфере услуг. Экономическая наука современной России. 2020;(3):132–142. DOI: 10.33293/1609–1442–2020–3(90)-132–142Korablev Yu.A., Golovanova P.S., Kostritsa T.A. Capacity method of rare events analysis in the area of services. Ekonomicheskaya nauka sovremennoi Rossii = Economics of Contemporary Russia. 2020;(3):132–142. (In Russ.). DOI: 10.33293/1609–1442–2020–3(90)-132–142Кораблев Ю.А., Голованова П.С., Кострица Т.А.Использование емкостного метода для анализа исторических событий. KANT. 2021;(1):27–32. DOI: 10.24923/2222–243X.2021–38.6Korablev Yu.A., Golovanova P.S., Kostritsa T.A. Using the capacity method to analyze historical events. KANT. 2021;(1):27–32. (In Russ.). DOI: 10.24923/2222–243X.2021–38.6

The authors declare that there are no conflicts of interest present.