Верхние границы мер финансовых рисков различной степени катастрофичности

Вопрос оценки величины рисков с помощью определенных мер риска представляет одну из важнейших проблем современных финансов. Однако оценка многих современных мер риска требует определенных, иногда значительных усилий, а при этом на практике инвестору достаточно было бы знание о верхних границах этих мер риска. Сравнив их со своим риск-аппетитом, инвесторы в случае, когда верхние границы мер риска укладывались бы в их риск-аппетит, могли бы оценить данный риск как приемлемый для себя. И лишь в случае, когда верхняя граница соответствующей меры риска превышала бы их риск-аппетит, возникала бы необходимость для них в подробной оценке соответствующей меры риска. Целью данной работы является рассмотрение верхних границ сначала для таких известных мер риска, как ценность под риском VaR и ожидаемый дефицит или условная ценность под риском ES. Далее получаются верхние границы для введенных автором в научный обиход мер риска VaR в степени t, VaR^{(t )} и ES в степени t, ES^{(t )} . В работе также с применением результатов В. Хюрлиманна получены представления для максимальных значений мер риска VaR^{(t )} и ES^{(t )} . Методом получения описанных результатов является применение определенных представлений всех этих мер риска, применение неравенств П. Чебышева, а также результатов В. Хюрлиманна. В результате исследования для верхних границ предложены описания, выражающие их лишь через несколько первых моментов закона распределения потерь. Автор делает вывод, что исследование верхних границ важных мер риска представляет научный интерес и имеет практическую ценность для экспресс-оценки соответствующих рисков.

1. Denuit M., Dhaene J., Goovaerts M., Kaas R. Actuarial theory for dependent risks: Measures, orders and models. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd; 2005. 440 p. DOI: 10.1002/0470016450

2. Artzner P., Delbaen F, Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance. 1999;9(3):203-228. DOI: 10.1111/1467-9965.00068

3. Denuit M., De Vylder E., Lefèvre C. Extremal generators and extremal distributions for the continuous s-convex stochastic orderings. Insurance: Mathematics and Economics. 1999;24(3):201-217. DOI: 10.1016/S0167-6687(98)00053-5

4. Wang R., Peng L., Yang J. Bounds for the sum of dependent risks and worst Valueat-Risk with monotone marginal densities. Finance and Stochastics. 2013;17(2):395-417. DOI: 10.1007/s00780-012-0200-5

5. Embrechts P., Puccetti G., Rüschendorf L. Model uncertainty and VaR aggregation. Journal of Banking & Finance. 2013;37(8):2750-2764. DOI: 10.1016/j.jbankfin.2013.03.014

6. Embrechts P., Wang B., Wang R. Aggregation-robustness and model uncertainty of regulatory risk measures. Finance and Stochastics. 2015;19(4):763-790. DOI: 10.1007/s00780-015-0273-z

7. Puccetti G., Rüschendorf L., Small D., Vanduffel S. Reduction of Value-at-Risk bounds via independence and VaRiance information. Scandinavian Actuarial Journal. 2017;(3):245-266. DOI: 10.1080/03461238.2015.1119717

8. Rüschendorf L., Witting J. VaR bounds in models with partial dependence information on subgroups. Dependence Modeling. 2017;5(1):59-74. DOI: 10.1515/demo-2017-0004

9. Kaas R., Goovaerts M.J. Best bounds for positive distributions with fixed moments. Insurance: Mathematics and Economics. 1986;5(1):87-92. DOI: 10.1016/0167-6687(86)90013-2

10. Denuit M., Genest C., Marceau É. Stochastic bounds on sums of dependent risks. Insurance: Mathematics and Economics. 1999;25(1):85-104. DOI: 10.1016/S0167-6687(99)00027-X

11. De Schepper A., Heijnen B. How to estimate the Value at Risk under incomplete information. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010;233(9):2213-2226. DOI: 10.1016/j.cam.2009.10.007

12. Hürlimann W. Analytical bounds for two value-at-risk functionals. ASTIN Bulletin. 2002;32(2):235-265. DOI: 10.2143/AST.32.2.1028

13. Hürlimann W. Extremal moment methods and stochastic orders. Boletin de la Associacion Matematica Venezolana. 2008;15(2):153-301. URL: https://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol15/HurlimannXV-2.pdf

14. McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. Quantitative risk management: Concepts, techniques and tools. Princeton, NJ: Princeton University Press; 2015. 720 p.

15. Wirch J.L., Hardy M.R. A synthesis of risk measures for capital adequacy. Insurance: Mathematics and Economics. 1999;25(3):337-347. DOI: 10.1016/S0167-6687(99)00036-0

16. Dhaene J., Tsanakas A., Valdez E.A., Vanduffel S. Optimal capital allocation principles. The Journal of Risk and Insurance. 2012;79(1):1-28. 1 DOI: 0.1111/j.1539-6975.2011.01408.x

17. Danielsson J., Embrechts P., Goodhart C., Keating C., Muennich F., Renault O., Shin H.S. An academic response to Basel II. LSE Financial Markets Group Special Paper. 2001;(130). URL: https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/Responsev3.pdf

18. Минасян В.Б. Новые способы измерения катастрофических рисков: меры «VaR в степени t» и их вычисление. Финансы: теория и практика. 2020;24(3):92-109. DOI: 10.26794/2587–5671–2020–24–3–92–109

19. Минасян В.Б. Меры «VaR в степени t» и «ES в степени t» и меры риска искажения. Финансы: теория и практика. 2020;24(6):92-107. DOI: 10.26794/2587–5671–2020–24–6–92–107

20. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.; 1989. 640 с.