Об одном алгоритме восстановления функции по разным функционалам для прогнозирования редких событий в экономике

Цель исследования — восстановление некоторых параметров функционала с использованием кубических сплайнов для дальнейшего прогнозирования редких событий в финансах и экономике. Рассмотрен математический метод восстановления неизвестной функции по многим разным функционалам, таким как значение функции, значение ее первой производной, второй производной, а также определенного интеграла на некотором промежутке. Причем все наблюдения могут происходить с погрешностью. Поэтому автор применил метод восстановления функции по разным функционалам, наблюдаемым с погрешностью. Восстановление функции осуществляется в виде кубического сплайна, имеющего представление через значения и вторые производные (value-second derivative representation). Оптимизационная задача заключается в минимизации сразу нескольких сумм квадратов отклонения: для обычных значений, для первых производных, для вторых производных, для интегралов, а также штрафа на нелинейность. Для большей гибкости введены весовые коэффициенты как для каждой группы наблюдений, так и для каждого индивидуального наблюдения в отдельности. Показано, как рассчитывается каждый отдельный функционал. Представлена компактная форма оптимизационной задачи через матричные операции. Подробно показано, как заполняется каждая соответствующая матрица. В приложении представлена программная реализация метода на языке R в виде функции FunctionalSmoothingSpline. Приведены примеры использования метода для анализа и прогнозирования редких (дискретных) событий в экономике. Представлены формулы расчета оценки кросс-валидации CV (α) для автоматической процедуры определения параметра сглаживания α из данных в  нашей задаче восстановления функции по многим функционалам. Сделан вывод, что представленный метод позволяет анализировать и прогнозировать редкие события, что позволит подготовиться к ним, получить из этого определенную выгоду или уменьшить возможные риски или убытки.

1. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. Пер. с англ. М.: Изд. иностр. лит.; 1963. 829 с.

2. Croston J. D. Forecasting and stock control for intermittent demands. Operational Research Quarterly. 1972;23(3):289–303. DOI: 10.1057/jors.1972.50

3. Willemain T.R., Smart C.N., Schwarz H.F. A new approach to forecasting intermittent demand for service parts inventories. International Journal of Forecasting. 2004;20(3):375–387. DOI: 10.1016/S 0169–2070(03)00013-X

4. Kaya G.O., Sahin M., Demirel O.F.Intermittent demand forecasting: A guideline for method selection. Sādhanā: Academy Proceedings in Engineering Sciences. 2020;45(1):51. DOI: 10.1007/s12046–020–1285–8

5. Pinçe Ç., Turrini L., Meissner J. Intermittent demand forecasting for spare parts: A critical review. Omega. 2021;105:102513. DOI: 10.1016/j.omega.2021.102513

6. Кораблев Ю.А. Метод восстановления функции по интегралам для анализа и прогнозирования редких событий в экономике. Экономика и математические методы. 2020;56(3):113–124. DOI: 10.31857/S 042473880010485–2

7. Kimeldorf G., Wahba G. Some results on Tchebychefian spline functions. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971;33(1):82–95. DOI: 10.1016/0022–247X(71)90184–3

8. Lee C.H. A phase space spline smoother for fitting trajectories. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. Part B: Cybernetics. 2004;34(1):346–356. DOI: 10.1109/tsmcb.2003.817027

9. Xian J., Li Y., Lin W. Reconstruction of signal from samples of its integral in spline subspaces. In: Bubak M., van Albada G.D., Sloot P.M.A., Dongarra J., eds. Int. conf. on computational science: Computational science (ICCS 2004). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag; 2004:574–577. (Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3037). DOI: 10.1007/978–3–540–24687–9_75

10. Green P.J., Silverman B.W. Nonparametric regression and generalized linear models. A roughness penalty approach. Boca Raton, London: Chapman & Hall/CRC; 1994. 194 p. (Monographs on Statistics and Applied Probability. No. 58).

11. Quinn B.G., Fernandes J.M. A fast efficient technique for the estimation of frequency. Biometrika. 1991;78(3):489– 497. DOI: 10.1093/biomet/78.3.489

12. Quinn B.G., Hannan E.J. The estimation and tracking of frequency. Cambridge, New York: Cambridge University Press; 2001. 278 p. (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. No. 9).

13. Кораблев Ю.А., Голованова П.С., Кострица Т.А. Емкостный метод анализа редких событий в сфере услуг. Экономическая наука современной России. 2020;(3):132–142. DOI: 10.33293/1609–1442–2020–3(90)-132–142

14. Кораблев Ю.А., Голованова П.С., Кострица Т.А.Использование емкостного метода для анализа исторических событий. KANT. 2021;(1):27–32. DOI: 10.24923/2222–243X.2021–38.6